學(xué)習(xí)筆記：傅里葉變換

技術(shù)理論的學(xué)習(xí)，那是有趣共枯燥一色，暈菜與理解齊飛。最近久好電子的一個(gè)技術(shù)學(xué)習(xí)小組就深有體會(huì)。然而一點(diǎn)一滴的、不斷的學(xué)習(xí)中，每個(gè)人都是收獲滿(mǎn)滿(mǎn)。我們一起來(lái)看看某學(xué)霸這一周的讀書(shū)筆記。

【第三章 傅里葉變換    作者：李曉強(qiáng)】

首先從內(nèi)容的銜接上來(lái)總結(jié)本章內(nèi)容----只要滿(mǎn)足狄利赫里條件的周期信號(hào)，都可以用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示；傅里葉級(jí)數(shù)可以用三角波形式給出；如果利用歐拉方程替換三角波，又可以用指數(shù)形式表示；如果將級(jí)數(shù)中的每一個(gè)信號(hào)的頻率提取出來(lái)，將相應(yīng)頻率的幅值表示到平面坐標(biāo)中，這個(gè)離散的頻率-幅值坐標(biāo)面我們稱(chēng)之為幅度譜；將三角波每個(gè)頻率成份的相位表示到平面坐標(biāo)中，這個(gè)離散的頻率-相位坐標(biāo)平面稱(chēng)之為相位譜。

不得不感嘆，這種周期信號(hào)的表示方法完美到令人窒息，用傅里葉級(jí)數(shù)的頻譜方式表示任意周期信號(hào)，可以包含此信號(hào)的所有信息，而這就是頻域。

周期信號(hào)（加條件）用傅里葉級(jí)數(shù)可以完美的表達(dá)，那么非周期信號(hào)怎么辦？事實(shí)上，如果一個(gè)周期信號(hào)當(dāng)它的周期趨向于無(wú)窮大，那么這個(gè)信號(hào)我們認(rèn)為它非周期，所以只要對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，同時(shí)對(duì)其周期求極限，那這個(gè)“周期無(wú)群大”的信號(hào)也能展開(kāi)成一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，非周期信號(hào)也可能存在傅里葉級(jí)數(shù)，這種周期無(wú)群大信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)稱(chēng)之為傅里葉變換。

仍然用頻譜的方式來(lái)觀察一個(gè)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)周期信號(hào)的周期加大時(shí)，其譜線的X 坐標(biāo)密度增加，如果周期被極限為無(wú)窮大，頻譜的密度則無(wú)限密，變得連續(xù)起來(lái)。

敲黑板：

此時(shí)不能將這種極限狀況演化下的結(jié)果稱(chēng)為連續(xù)頻譜，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)非周期信號(hào)而言，其總歸是有一定能量，如果直接用連續(xù)的頻譜，其能量是就是每個(gè)頻點(diǎn)的相加，這樣就會(huì)存在一個(gè)矛盾，連續(xù)的頻譜是無(wú)限頻點(diǎn)，而幅度是一個(gè)有限值，這樣信號(hào)的能量就變?yōu)榘l(fā)散值。

如果考慮了傅里葉級(jí)數(shù)的前提，周期雖然趨向于無(wú)群大，頻譜依然存在，只是頻譜間隔變?yōu)闊o(wú)窮小，這樣得到的頻率-幅度的平面坐標(biāo)稱(chēng)之為密度譜，其物理含義就是：任意一點(diǎn)的頻率值趨向于0（因?yàn)轭l率寬度0），但是一段頻率的能量值仍然有效。

? 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)及其系數(shù)的計(jì)算，幅度譜和相位譜的計(jì)算，如果用歐拉公式將傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，要理解復(fù)頻域的概念，其頻率會(huì)產(chǎn)生負(fù)的部分，實(shí)際這是用指數(shù)表示三角函數(shù)過(guò)程中數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，如果將相位加入，那么π相位為負(fù)幅值。

傅里葉級(jí)數(shù)在工程應(yīng)用中由于頻率無(wú)法達(dá)到無(wú)限值，當(dāng)頻率有限時(shí)，其級(jí)數(shù)就存在一個(gè)方均誤差。

? 傅里葉變換及典型的非周期信號(hào)傅里葉變換

將周期信號(hào)的周期取極限得到傅里葉變換，反向思維，如果要求一個(gè)非周期函數(shù)的傅里葉變換，可以先求相似的周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，然后將周期取極限。門(mén)限函數(shù)的傅里葉變換是Sa 函數(shù)

? 沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅氏變換

沖激函數(shù)的傅里葉變換是1，也就是說(shuō)理想的沖激函數(shù)包含了任何頻率信息，其幅值是1，稱(chēng)之為均勻譜。如果對(duì)門(mén)限函數(shù)的門(mén)限寬度取無(wú)窮極限，就得到直流信號(hào)的傅里葉變換是沖激函數(shù)。階躍信號(hào)的傅里葉變換是一個(gè)沖激信號(hào)和反比例函數(shù)的合成，所以我們總是以沖激函數(shù)和階躍函數(shù)仿真系統(tǒng)的響應(yīng)特性，因?yàn)槠漕l率成份足夠多。

? 傅里葉變換的基本性質(zhì)

對(duì)稱(chēng)性、疊加性、奇偶虛實(shí)性、尺度變換性、時(shí)移特性、頻移特性、微積分特性。

? 卷積定理

時(shí)域卷積定理：時(shí)域的卷積就是頻域的相乘

頻域卷積定理：頻域的卷積是時(shí)域相乘除以2π

? 周期信號(hào)的傅里葉變換

傅里葉變換求得信號(hào)的連續(xù)密度譜，而周期信號(hào)的傅里葉變換的譜線離散的，這時(shí)候只能用沖激函數(shù)的能量無(wú)限來(lái)抵消頻率離散所帶來(lái)的能量計(jì)算問(wèn)題。進(jìn)一步，如果求的周期信號(hào)的傅里葉變換，將其與沖激函數(shù)來(lái)求卷積，那么很容易求得周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。

? 抽樣信號(hào)的傅里葉變換和抽樣定理

本節(jié)屬于傅里葉變換的應(yīng)用范疇，根據(jù)前章的鋪墊，如果用一個(gè)信號(hào)fs 采樣一個(gè)信號(hào)fi，實(shí)際上就是這個(gè)信號(hào)fs 對(duì)被抽樣信號(hào)fi 的卷積，那么根據(jù)時(shí)域卷積定理，可以分別求其傅里葉變換，然后在頻域相乘得到頻域信號(hào)，最后經(jīng)過(guò)傅里葉反變換得到采樣信號(hào)的時(shí)域信號(hào)。

抽樣定理又稱(chēng)為奈奎斯特采樣定理，也就是采樣頻率fs 至少是被采樣信號(hào)fi 的2 倍，才有可能無(wú)失真的恢復(fù)原信號(hào)。